Wykres funkcji
Uwaga 1:
Od tego momentu będziemy się zajmować się funkcjami rzeczywistymi zmiennej rzeczywistej, czyli zgodnie z definicją 2 (z modułu "Pojęcie funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina") takimi, dla których zbiory \( X \) oraz \( Y \) są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych.
Definicja 1: Wykres funkcji
Wykres funkcji \( f:X \to Y \) jest to zbiór par uporządkowanych
Rysunek 1: Wykres funkcji, dziedzina i przeciwdziedzina funkcji
Uwaga 2:
Na płaszczyźnie kartezjańskiej z przyjętym układem współrzędnych \( x0y \) dziedzina funkcji leży na osi \( 0x \). Jest ona rzutem prostokątnym wykresu na tę oś. Podobnie, rzutując wykres na oś \( 0y \) otrzymujemy zbiór wartości funkcji.
Uwaga 3:
Własność prawostronnej jednoznaczności geometrycznie oznacza, że każda prosta równoległa do osi \( 0 { \vec {y}} \) (prosta „pionowa” o równaniu \( x=\textrm{const} \), gdzie \( const \) jest skrótem od słowa constans, stała) może przeciąć wykres funkcji, co najwyżej w jednym punkcie. Daje to nam łatwe kryterium rozstrzygające, czy dany zbiór przedstawiony w układzie współrzędnych jest wykresem pewnej funkcji.
Przykład 1:
Stwierdzimy, które z naszkicowanych zbiorów są wykresami funkcji zmiennej \( x \).
Rysunek 2: Zbiory w układzie współrzędnych \( x0y \)
Rozwiązanie
Zbiory \( B \), \( C \) i \( D \) nie przedstawiają wykresów funkcji, gdyż znajdziemy takie proste pionowe, które mają z nimi więcej niż po jednym punkcie wspólnym. W przypadku \( B \) i \( C \) są to dwa punkty, a w przypadku \( D \) aż nieskończenie wiele.
Rysunek 3: Ilustracja rozwiązania graficznego
Pozostałe wykresy: \( A \), \( E \), \( F \) są wykresami pewnych funkcji zmiennej \( x \).
Treść zadania:
Korzystając z podanych wykresów, wyznacz dziedziny oraz zbiory wartości następujących funkcji.Rysunek 4: Przykładowe wykresy funkcji
Treść zadania:
Student uprawiający jogging naszkicował wykres funkcji przedstawiającej jak zmieniała się jego odległość od akademika podczas pewnego treningu. Stała trasa studenta wiodła jak zwykle alejką poprowadzoną wzdłuż linii prostej.Rysunek 5: Funkcja opisująca odległość studenta od akademika podczas joggingu
Odpowiedzmy na poniższe pytania:
- Po ilu minutach rozgrzewki student zaczął biec zdecydowanie szybciej i jak długo utrzymywał to większe tempo?
- Kiedy zaczął zawracać?
- Gdzie był po 45 minutach treningu?
- Kiedy i na jak długo zatrzymał się?
Uwaga 4:
Ten elementarny przykład uświadamia nam jak wiele różnorodnych informacji związanych ze zjawiskami opisywanymi przez funkcję możemy odczytać z jej wykresu. Dlatego tez należy zapoznać się z wykresami pewnych typowych funkcji elementarnych i zapamiętać ich kształt.